Cho hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp giải: Từ phương trình (2) ta suy ra được 2 trường hợp \(\left[ \begin{align} & x+y=2 \\  & x+y=-2 \\ \end{align} \right.\)

Sau đó ta xét từng trường hợp để tìm nghiệm của phương trình. Rút \(y\) theo \(x\) từ các trường hợp thay vào phương trình (1) để giải. Biện luận để hệ phương trình có đúng \(2\) nghiệm thực phân biệt

Giải chi tiết:

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2\left( {1 + m} \right)\\{\left( {x + y} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2\left( {1 + m} \right)\\\left[ \begin{array}{l}x + y = 2\\x + y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2\left( {1 + m} \right)\\x + y = 2\end{array} \right.\left( I \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2\left( {1 + m} \right)\\x + y = - 2\end{array} \right.\left( {II} \right)\end{array} \right.\)

Để hệ phương trình đã cho có \(2\)  nghiệm thực phân biệt thì xảy ra các trường hợp:

\(\bullet \) Trường hợp 1: Hệ phương trình (I) vô nghiệm, hệ phương trình (II) có \(2\)  nghiệm phân biệt

\((I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 2(1 + m)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = 1 - m\end{array} \right.\)

Hệ (I) vô nghiệm \(\Leftrightarrow 4<4\left( 1-m \right)\Leftrightarrow m<0\) 

\((II) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = - 2\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 2(1 + m)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = - 2\\xy = 1 - m\end{array} \right.\)

Hệ (II) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow 4>4(1-m)\Leftrightarrow m>0\)

Suy ra không có giá trị \(m\) thỏa mãn trường hợp này.

\(\bullet \) Trường hợp 2: Hệ phương trình (I) và (II) đều có nghiệm duy nhất

\(\Rightarrow 4=4(1-4m)\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó hệ có nghiệm \(x=y=\pm 1\)

\(\bullet \) Trường hợp 3: Hệ phương trình (I) có \(2\)  nghiệm phân biệt và hệ phương trình (II) vô nghiệm

Xét tương tự trường hợp 1, ta suy ra được không có giá trị \(m\) thỏa mãn

Vậy giá trị của \(m\) để hệ phương trình có \(2\)  nghiệm phân biệt là \(m=0\)

Chọn B.