Cho hệ phương trình \(\l...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp giải: Vì \(3\)  số có vai trò giống nhau nên ta có thể giả sử \(x\ge y\) sau đó chia từng vế với vế của các phương trình cho nhau, để chứng minh được hệ có nghiệm \(x=y=z\)

Giải chi tiết:

Cách làm: Điều kiện \(xyz\ne 0\). Nhận thấy nếu một trong ba số \(x,y,z\) có một số âm, chẳng hạn \(x<0\) thì phương trình thứ 3 vô nghiệm. Nếu hai trong số ba số \(x,y,z\) là số âm, chẳng hạn \(x,y<0\) thì phương trình thứ 2 vô nghiệm. Vậy ba số \(x,y,z\) cùng dấu.

\(\bullet \) Trường hợp 1: \(x,y,z>0\)

Nếu \(x\ge y\)  chia hai vế của phương trình thứ hai cho thứ ba của hệ ta được \(\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}=\frac{x+y}{y+z}\) \(\Rightarrow x\ge z\)

Với \(x\ge z\) chia hai vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai: \(\frac{{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}}=\frac{x+z}{y+x}\Rightarrow z\le y\)

Với \(z\le y\) chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ 3: \(\frac{{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}}=\frac{x+z}{y+z}\Rightarrow x\le y\)

Suy ra \(x=y=z\)  thay vào hệ phương trình đã cho ta tìm được nghiệm \(x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\bullet \) Trường hợp 2: \(x,y,z<0\) ta làm tương tự, tìm được thêm nghiệm \(x=y=z=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Vậy hệ phương trình có \(2\)  nghiệm.

Chọn C.