( sưu tầm của thầy Trần Nam Dũng)Trong một giải bó...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đây là một bài toán khó, tính phân loại học sinh rất cao. Để làm được bài toán này khả năng suy luận, logic của học sinh phải rất tốt mới có thể xét các trường hợp xảy ra một cách chặt chẽ được.

Khi làm bài toán về giải bóng đá, ta thường sử dụng hai sự kiện đơn giản nhưng quan trọng sau đây:

Nếu có n đội bóng thi đấu vòng tròn 1 lượt thì số trận đấu giữa họ là:  \(\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\).

Ví dụ: giải bóng đá ngoại hạng anh có 20 đội tham gia đá theo thề thức vòngo tòn một lượt, nghĩa là một đội sẽ đáu với các đội còn lại, mỗi đội 2 lượt: Một lượt trên sân nhà và một lượt trên sân khách,. Như vậy, số trận đấu diễn ra là : \(\frac{20.19}{2}=190\) trận

Chứng minh công thức trên khá đơn giản:

Mỗi đội trong n đội sẽ đấu với (n – 1) đội còn lại, do đó mỗi đội sẽ  phải đấu số trận là:   n – 1  (trận)

Như vậy, n đội sẽ có:  n.( n – 1)   (trận đấu)

Do mỗi trận đấu đã được tính 2 lần nên số trận đấu thực tế là: \(\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\)

Một trận đấu có kết quả phân định thắng thua sẽ mang lại tổng điểm là 3, còn kết quả hòa mang lại tổng điểm là 2.

Giải chi tiết:

• Ta thấy đội vô địch thua đúng 1 trận, suy ra số điểm của đội vô địch không vượt quá 12.

• Theo đề bài, điểm của đội vô địch bằng nửa tổng điểm của 5 đội còn lại. 5 đội này thi đấu với nhau 5.4/2 = 10 trận, đem lại ít nhất là 20 điểm. Ngoài ra các đội này còn thắng đội vô địch 1 trận. Suy ra tổng điểm của 5 đội ít nhất là 23.

• Từ đây suy ra đội vô địch được ít nhất là 11,5 điểm. Vì số điểm là một số nguyên nên từ các lý luận trên, ta suy ra đội vô địch được 12 điểm. Từ đây hai đội nhì, ba có tổng điểm là 12 và 3 đội xếp cuối cũng có tổng điểm là 12. Tổng điểm của tất cả các đội là 36.

• Giữa 6 đội bóng có tất cả 15 trận đấu. Nếu tất cả đều phân định thắng thua thì tổng điểm là 45. Nhưng tổng điểm chỉ là 36, suy ra có 45 – 36 = 9 trận hòa.

• Như thế trong 10 trận giữa 5 đội còn lại chỉ có 1 trận thắng - thua, còn là 9 trận hòa. Suy ra tổng số trận thắng của 5 đội còn lại là 2 trận (1 thắng đội vô địch và 1 thắng lẫn nhau).

• Cuối cùng, ta nhận xét rằng, do đội vô địch không hòa trận nào nên không có đội nào hòa cả 5 trận. Vì vậy, nếu có 1 đội bóng được 5 điểm thì đội bóng đó phải thắng 1 trận. Xét đội xếp thứ tư, nếu đội này được 5 điểm trở lên thì đội xếp thứ 2 và thứ 3 cũng được 5 điểm trở lên.

• Như vậy, các đội 2, 3, 4 mỗi đội đều thắng ít nhất 1 trận. Mâu thuẫn với kết luận ở phần trên. Vậy đội thứ tư được nhỏ hơn 5 điểm. Vì tổng điểm 3 đội 4, 5, 6 bằng 12 nên ta phải có cả 3 đội 4, 5, 6 đều được 4 điểm.

Vậy: Đội vô địch được 12 điểm và đội xếp cuối được 4 điểm.

Chọn A