Giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{x}{3}+\frac{27}{x},...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

+) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm: \(a;\,\,b\ge 0:\,\,\,\,a+b\ge 2\sqrt{ab}.\)

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có: \(P=\frac{x}{3}+\frac{27}{x}=\frac{7x}{48}+\frac{3x}{16}+\frac{27}{x}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{3x}{16},\,\frac{27}{x}\) ta nhận được

\(\frac{3x}{16}+\,\frac{27}{x}\ge 2\sqrt{\frac{3x}{16}.\,\frac{27}{x}}=2\sqrt{\frac{81}{16}}=2.\frac{9}{4}=\frac{9}{2}\,\,\left( 1 \right).\)

Mặt khác ta lại có \(x\ge 12\Rightarrow \frac{7x}{48}\ge \frac{7}{48}.12=\frac{7}{4}\,\,\,\left( 2 \right).\)

Cộng vế theo vế bất đẳng thức \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta nhận được \(P=\frac{x}{3}+\frac{27}{x}=\left( \frac{3x}{16}+\frac{27}{x} \right)+\frac{7x}{16}\ge \frac{9}{2}+\frac{7}{4}=\frac{25}{4}.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align}  & \frac{3x}{16}=\frac{27}{x} \\ & x=12 \\ & x>0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=12.\)

Chọn đáp án C.