Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm di động trên đồ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến, áp dụng điều kiện để hai tiếp tuyến song song và theo hệ thức Viet để tìm tọa độ trung điểm cố định mà MN luôn đi qua

Giải chi tiết:

Gọi tọa độ điểm \(M\), \(N\) lần lượt là \(M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\text{ }N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\).

Hệ số góc tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) và \(N\) lần lượt là

\({{k}_{1}}={y}'\left( {{x}_{1}} \right)=-3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}-1\); \({{k}_{2}}={y}'\left( {{x}_{2}} \right)=-3{{x}_{2}}^{2}+6{{x}_{2}}-1\)

Để tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) và \(N\) luôn song song với nhau điều kiện là

\(\left\{ \begin{align} & {{k}_{1}}={{k}_{2}} \\& {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \\\end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ -3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+6 \right]=0 \\& {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \\\end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\).

Ta có: \({{y}_{1}}+{{y}_{2}}=-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+3\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+8\)

Do \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\) nên \({{y}_{1}}+{{y}_{2}}=-2\left( 4-3{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3\left( 4-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+8=10\).

Trung điểm của đoạn \(MN\) là \(I\left( 1;5 \right)\). Vậy đường thẳng \(MN\) luôn đi qua điểm cố định \(I\left( 1;5 \right)\).

Chọn D