Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: \(x+y+z=...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.

+) Xác định GTNN của biểu thức và giá trị của x, y, z để dấu “=” xảy ra.

Giải chi tiết:

$Q=\frac{x+1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y+1}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z+1}{1+{{x}^{2}}}=\left( \frac{x}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z}{1+{{x}^{2}}} \right)+\left( \frac{1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{1}{1+{{z}^{2}}}+\frac{1}{1+{{x}^{2}}} \right)=A+B$

Xét $A=\frac{x}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z}{1+{{x}^{2}}}$

Ta có: $\frac{x}{1+{{y}^{2}}}=\frac{x\left( 1+{{y}^{2}} \right)-x{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}}=x-\frac{x{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}}\ge x-\frac{x{{y}^{2}}}{2y}=x-\frac{xy}{2}$

Tương tự $\frac{y}{1+{{z}^{2}}}\ge y-\frac{yz}{2}$,$\frac{z}{1+{{x}^{2}}}\ge z-\frac{xy}{2}$

Khi đó $A=\frac{x}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z}{1+{{x}^{2}}}\ge x+y+z-\frac{xy+yz+zx}{2}$

Lại có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge xy+yz+zx\Rightarrow {{\left( x+y+z \right)}^{2}}\ge 3\left( xy+yz+zx \right)$

$\Rightarrow A\ge x+y+z-\frac{\frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{3}}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1.

Xét $B=\frac{1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{1}{1+{{z}^{2}}}+\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$

Ta có

$\begin{align} & 3-B=\left( 1-\frac{1}{1+{{y}^{2}}} \right)+\left( 1-\frac{1}{1+{{z}^{2}}} \right)+\left( 1-\frac{1}{1+{{x}^{2}}} \right) \\  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{1+{{z}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}}\le \frac{{{y}^{2}}}{2y}+\frac{{{z}^{2}}}{2z}+\frac{{{x}^{2}}}{2x}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2} \\ \end{align}$

Suy ra $B\ge 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$ . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy $Q\ge 3$ .Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

 Chọn C