Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0.\)

Biến đổi điều kiện đề bài để được phương trình chỉ chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) từ đó sử dụng định lý Vi-ét, giải phương trình để tìm \(m\)

Giải chi tiết:

\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 4\).

Có \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + m - 1} \right) = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - m + 1 = m + 2\)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow m + 2 > 0 \Leftrightarrow m >  - 2.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + m - 1\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}{\rm{    }}\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{2(m + 1)}}{{{m^2} + m - 1}} = 4\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 1 \ne 0\\m + 1 = 2({m^2} + m - 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\\m \ne \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\2{m^2} + m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\\m \ne \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \( \Rightarrow m \in \left\{ {1; - \frac{3}{2}} \right\}\) là các giá trị cần tìm.

Chọn D.