Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Xét tứ giác \(MFBD\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle MDB = {90^{0\;\;}}\left( {MD \bot BC} \right)\\\angle BFM = {90^0}\;\;\left( {MF \bot AB} \right)\\ \Rightarrow \angle MDB + \angle BFM = {180^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow MDBF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Chứng minh tương tự ta có \(MDEC,\;\;MBAC\) cũng là các tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle BDF = \angle BMF = {90^0} - \angle FBM\) (hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh \(BF\))

\(\angle EDC = \angle EMC = {90^0} - \angle ECM\) (hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh \(EC\))

\(\angle FBM = \angle ECM\) 

\( \Rightarrow \angle BDF = \angle EDC\)

Mà \(B,\;D,\;C\) thẳng hàng

\( \Rightarrow \angle BDF,\;\;\angle EDC\) là hai góc đối đỉnh.

\( \Rightarrow E,\;D,\;F\) thẳng hàng. (đpcm)

b) Gọi P thuộc BC sao cho: \(\angle BPM = \angle ACM\)

Xét \(\Delta BPM\) và \(\Delta ACM\) ta có:

\(\angle BPM = \angle ACM\) (cách dựng)

\(\angle PBM = \angle CAM\) (hai góc nội tiếp chắn cung \(AM\))

\( \Rightarrow \Delta BPM \sim \Delta ACM\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BP}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{AM}}\)(các cạnh tương ứng tỉ lệ).

\(\Delta AME \sim \Delta BMD\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BM}}{{AM}} = \frac{{DM}}{{ME}}\) (các cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow \frac{{BP}}{{AC}} = \frac{{DM}}{{ME}}\left( { = \frac{{BM}}{{AM}}} \right) \Rightarrow \frac{{AC}}{{ME}} = \frac{{BP}}{{DM}}\;\;\left( 1 \right)\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta CPM \sim \Delta ABM\\\Delta AMF \sim \Delta CMD\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{AB}}{{MF}} = \frac{{CP}}{{MD}}.\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{AB}}{{MF}} + \frac{{AC}}{{ME}} = \frac{{BP}}{{MD}} + \frac{{CP}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{MD}}\;\;\left( {dpcm} \right).\)

c) Từ ý a) áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cắt tuyến là D, E, F ta thu được hệ thức sau: \(\frac{{FD}}{{FA}}.\frac{{EA}}{{EC}}.\frac{{DC}}{{DB}} = 1.\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cô Si ta có:

\(\frac{{FB}}{{FA}} + \frac{{EA}}{{EC}} + \frac{{DE}}{{DB}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{FB}}{{FA}}.\frac{{EA}}{{EC}}.\frac{{DC}}{{DB}}}} = 3.\)

Vậy \(\frac{{FB}}{{MF}} + \frac{{EA}}{{EC}} + \frac{{DC}}{{DB}} \ge 3.\)