Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình vuô...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết:

Xét \(\Delta HAD\), có \(AC\) là tia phân giác của góc \(\widehat{HAD}\).

\(\Rightarrow \frac{AH}{AD}=\frac{HM}{MD}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{HD}{MD}=\frac{3}{2}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}H,\,M \in HD\\HD \cap \left( {SCD} \right) = D\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{HD}}{{MD}} = \frac{3}{2}.\)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD\Rightarrow HN\bot CD\).

Trong (SHN) từ \(H\) kẻ \(HK\bot SN\,\,\,\,\left( 1 \right)\), \(K\in SN\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HN\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow CD \bot HK\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)\).

Khi đó \(d\left( H;\left( SCD \right) \right)=HK=\frac{SH.HN}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}.a}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left( H;\left( SCD \right) \right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d\left( M;\left( SCD \right) \right)=\frac{a}{\sqrt{3}}\).

Chọn A.