Chứng minh: \(P(n) = {n^4} - 14{n^3} + 71{n^2} - 1...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích P(n) thành nhân tử.

Chứng minh P(n) chia hết cho 3 và chia hết cho 8.

Giải chi tiết:

Ta có : \({n^4} - 14{n^3} + 71{n^2} - 154n + 120 = \left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)\)

Đây là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên :

Chắc chắn sẽ có 1 số chia hết cho 3.

Chắc chắn sẽ có đầy đủ 4 số dư khi chia cho 4 là 4k ; 4k + 1 ; 4k + 2 ; 4k + 3.

Mặt khác ta có : 4k. ( 4k + 2) = 8k( k + 1) chia hết cho 8.

Hơn nữa 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau: 3. 8 = 24

Vậy ta có điều phải chứng minh.