Cho các số thực \(x,y,z\) thay đổi và thỏa mãn \({...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi điều kiện cho trước và biểu thức P rồi đặt ẩn phụ và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm thu được .

Giải chi tiết:

Từ giả thiết ta có \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( x+y+z \right)}^{2}}-2xy-2yz-2xz=1\Leftrightarrow {{\left( x+y+z \right)}^{2}}=1+2xy+2yz+2xz\).

Thay vào biểu thức \(P\) ta được

\(\begin{array}{l}P = {\left( {xy + yz + 2zx} \right)^2} - \frac{8}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - xy - yz + 2}} = {\left( {xy + yz + 2zx} \right)^2} - \frac{8}{{1 + 2xy + 2yz + 2xz - xy - yz + 2}}\\ = {\left( {xy + yz + 2zx} \right)^2} - \frac{8}{{\left( {xy + yz + 2xz} \right) + 3}}\end{array}\)

Ta có \({{\left( x+y+z \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( xy+yz+xz \right)\ge 0\Leftrightarrow 1+2\left( xy+yz+xz \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( xy+yz+xz \right)\le \frac{-1}{2}\).

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x+y+z=0\) và \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\).

Lại có \(\left| xz \right|\le \left| x \right|.\left| z \right|\le \frac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( 1-{{y}^{2}} \right)\le \frac{1}{2}\)\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\le xz\le \frac{1}{2}\).

Hay giá trị nhỏ nhất của \(xz\)là \(\frac{-1}{2}\)\(\Leftrightarrow x=-z\)(vì tích âm nên hai số trái dấu).

Vậy \(\min \left( xy+yz+2.xz \right)=\frac{-1}{2}-\frac{1}{2}=-1\) xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\\x =  - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x =  - z\\2{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\z =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\z = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\).

Đặt \(t=xy+yz+2xz\,\,\left( t\ge -1 \right)\) khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của \(P={{t}^{2}}-\frac{8}{t+3}\) với \(t\ge -1\).

Xét \(f\left( t \right)={{t}^{2}}-\frac{8}{t+3}\,\,\left( t\ge -1 \right)\) có \({f}'\left( t \right)=2t+\frac{8}{{{\left( t+3 \right)}^{2}}}=\frac{2t{{\left( t+3 \right)}^{2}}+8}{{{\left( t+3 \right)}^{2}}}=\frac{2{{t}^{3}}+12{{t}^{2}}+18t+8}{{{\left( t+3 \right)}^{2}}}=\frac{2{{\left( t+1 \right)}^{2}}\left( t+4 \right)}{{{\left( t+3 \right)}^{2}}}\).

Thấy \({f}'\left( t \right)>0,\,\,\forall t\ge -1\) nên giá trị nhỏ nhất của \(f\left( t \right)\) trên \(\left[ -1;+\infty  \right)\)là \(f\left( -1 \right)=1-\frac{8}{2}=-3\).

Vậy \(\min P=-3\) \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\z =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\z = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\).

Chọn D.