Cho \(\Delta ABC\) có các đường cao BD và CE cắt n...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng, từ đó rút ra dữ kiện cần thiết để chứng minh yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta HBE\) và \(\Delta HCD\) có:

   \(\widehat{BDC}=\widehat{CEB}={{90}^{0}}\)

   \(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\) (2 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow \Delta HBE\backsim \Delta HCD\)(g – g) (điều phải chứng minh)  

b) Theo câu a) ta có: \(\Delta HBE\backsim \Delta HCD\)

\(\Rightarrow \frac{HE}{HD}=\frac{HB}{HC}\Leftrightarrow \frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)

Xét \(\Delta HED\) và \(\Delta HBC\) ta có:

   \(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\) (chứng minh trên)

   \(\widehat{EHD}=\widehat{BHC}\) (2 góc đối đỉnh)

   \(\begin{align}  & \widehat{HDE}=\widehat{HAE} \\  & \Rightarrow \Delta HED\backsim \Delta HBC\,\,\,\left( c-g-c \right). \\  & \Rightarrow \widehat{HDE}=\widehat{HCB}\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ \end{align}\)

Mà đường cao BD và CE cắt nhau tại H (theo giả thiết)

\(\Rightarrow \) H là trực tâm của \(\Delta ABC\).

\(\Rightarrow AH\bot BC\) tại M \(\Rightarrow \widehat{AMB}={{90}^{0}}\).

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta CEB\) có:

   \(\widehat{CEB}=\widehat{AMB}={{90}^{0}}\)

   \(\widehat{B}\) chung

\(\Rightarrow \Delta AMB\backsim \Delta CEB\ (g-g)\)

\(\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{ECB}\ hay\ \widehat{HAE}=\widehat{HCB}\ (2)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat{HDE}=\widehat{HAE}\) (điều phải chứng minh).