Cho $\Delta ABC$ có các đường cao BD và CE cắt n...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng, từ đó rút ra dữ kiện cần thiết để chứng minh yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

a) Xét $\Delta HBE$ và $\Delta HCD$ có:

   $\widehat{BDC}=\widehat{CEB}={{90}^{0}}$

   $\widehat{EHB}=\widehat{DHC}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta HBE\backsim \Delta HCD$(g – g) (điều phải chứng minh)  

b) Theo câu a) ta có: $\Delta HBE\backsim \Delta HCD$

$\Rightarrow \frac{HE}{HD}=\frac{HB}{HC}\Leftrightarrow \frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}$

Xét $\Delta HED$ và $\Delta HBC$ ta có:

   $\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}$ (chứng minh trên)

   $\widehat{EHD}=\widehat{BHC}$ (2 góc đối đỉnh)

   $\begin{align}  & \widehat{HDE}=\widehat{HAE} \\  & \Rightarrow \Delta HED\backsim \Delta HBC\,\,\,\left( c-g-c \right). \\  & \Rightarrow \widehat{HDE}=\widehat{HCB}\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ \end{align}$

Mà đường cao BD và CE cắt nhau tại H (theo giả thiết)

$\Rightarrow$ H là trực tâm của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow AH\bot BC$ tại M $\Rightarrow \widehat{AMB}={{90}^{0}}$.

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta CEB$ có:

   $\widehat{CEB}=\widehat{AMB}={{90}^{0}}$

   $\widehat{B}$ chung

$\Rightarrow \Delta AMB\backsim \Delta CEB\ (g-g)$

$\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{ECB}\ hay\ \widehat{HAE}=\widehat{HCB}\ (2)$

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{HDE}=\widehat{HAE}$ (điều phải chứng minh).