Định m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(u = {2^x},v = {3^y}\,\,\left( {u,v > 0} \right)\)

+) Rút u theo v (hoặc v theo u), rút ra phương trình bậc 2 ẩn u (hoặc v) và tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm dương.

Giải chi tiết:

Đặt \(u = {2^x},v = {3^y}\,\,\left( {u,v > 0} \right)\), khi đó hpt trở thành

\(\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 2m\\
uv = m + 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 2m - u\\
u\left( {2m - u} \right) = m + 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 2m - u\,\,\left( * \right)\\
{u^2} - 2mu + m + 6 = 0\,\,\left( {**} \right)
\end{array} \right.\)

Đề hpt ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) và (**) có nghiệm dương.

\(v > 0 \Rightarrow 2m - u > 0 \Rightarrow 0 < u < 2m \Rightarrow m > 0\)

Ta có \(\Delta ' = {m^2} - m - 6\)

TH1 : 

\(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = - 2\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.\)

Với m = 3 \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow {u^2} - 6u + 9 = 0 \Leftrightarrow u = 3 \Leftrightarrow v = 3\,\,\left( {tm} \right)\)

TH2 : 

\(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 3\\
m < - 2
\end{array} \right. \Rightarrow m > 3,\), khi đó phương trình (**)  có nghiệm

\(\left[ \begin{array}{l}
{u_1} = m + \sqrt {{m^2} - m - 6} > 0\,\,\forall m > 3\\
{u_2} = m - \sqrt {{m^2} - m - 6}
\end{array} \right. \Rightarrow m > 3\) thỏa mãn. Vậy \(m \ge 3\)

Chọn C.