Định m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt $u = {2^x},v = {3^y}\,\,\left( {u,v > 0} \right)$

+) Rút u theo v (hoặc v theo u), rút ra phương trình bậc 2 ẩn u (hoặc v) và tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm dương.

Giải chi tiết:

Đặt $u = {2^x},v = {3^y}\,\,\left( {u,v > 0} \right)$, khi đó hpt trở thành

$\left\{ \begin{array}{l} u + v = 2m\\ uv = m + 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v = 2m - u\\ u\left( {2m - u} \right) = m + 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v = 2m - u\,\,\left( * \right)\\ {u^2} - 2mu + m + 6 = 0\,\,\left( {**} \right) \end{array} \right.$

Đề hpt ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) và (**) có nghiệm dương.

$v > 0 \Rightarrow 2m - u > 0 \Rightarrow 0 < u < 2m \Rightarrow m > 0$

Ta có $\Delta ' = {m^2} - m - 6$

TH1 : 

$\Delta ' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = - 2\,\,\left( {ktm} \right) \end{array} \right.$

Với m = 3 $\left( {**} \right) \Leftrightarrow {u^2} - 6u + 9 = 0 \Leftrightarrow u = 3 \Leftrightarrow v = 3\,\,\left( {tm} \right)$

TH2 : 

$\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 3\\ m < - 2 \end{array} \right. \Rightarrow m > 3,$, khi đó phương trình (**)  có nghiệm

$\left[ \begin{array}{l} {u_1} = m + \sqrt {{m^2} - m - 6} > 0\,\,\forall m > 3\\ {u_2} = m - \sqrt {{m^2} - m - 6} \end{array} \right. \Rightarrow m > 3$ thỏa mãn. Vậy $m \ge 3$

Chọn C.