Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho ba điểm...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|\)=k.MJ với J là một điểm cố định.Bài toán đưa về tìm hình chiếu của J trên (P).

Giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\Rightarrow G\left( 0;2;1 \right)\).

I là một điểm nằm trên BC sao cho \(\overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 + 2x = 0\\y - 3 + 2\left( {y - 2} \right) = 0\\x + 1 + 2\left( {z - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x =  - 1\\3y = 7\\3z = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{3}\\y = \frac{7}{3}\\z = \frac{5}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - \frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3}} \right)\)

J là trung điểm của \(GI\Rightarrow J\left( -\frac{1}{6};\frac{13}{6};\frac{4}{3} \right)\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC}  = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right)\\3\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right) = 3\overrightarrow {MG}  + 3\overrightarrow {MI}  = 3\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MI} } \right) = 3.2.\overrightarrow {MJ}  = 6\overrightarrow {MJ} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {MJ} } \right| = 6MJ\end{array}\)

Nên \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|\) đạt GTNN khi Mlà hình chiếu của J trên \(\left( P \right)\).

Ta có: \(MJ:\left\{ \begin{array}{l}MJ = {n_P} = \left( {1;1;2} \right)\\J\left( { - \frac{1}{6};\frac{{13}}{6};\frac{4}{3}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{6} + t\\y = \frac{{13}}{6} + t\\z = \frac{4}{3} + 2t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{6} + t;\frac{{13}}{6} + t;\frac{4}{3} + 2t} \right)\)

\(M\in \left( P \right)\Leftrightarrow -\frac{1}{6}+t+\frac{13}{6}+t+2\left( \frac{4}{3}+2t \right)-6=0\Leftrightarrow -\frac{4}{3}+6t=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{9}\Rightarrow M\left( \frac{1}{18};\frac{43}{18};\frac{16}{9} \right)\)

Chọn B.