Cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):y=\frac{1}{x}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp:

- Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\)tại \(M\).

+ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left) {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\): \(y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\).

- Tìm tọa độ hai giao điểm \(A,B\)của tiếp tuyến với các trục tọa độ Ox, Oy.

- Diện tích tam giác \(OAB\) là: \({{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB\).

Cách giải:

\(y=\frac{1}{x}\Rightarrow y'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\).Ta có: \({{x}_{M}}=2-\sqrt{3}\Rightarrow {{y}_{M}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\Rightarrow M\left( 2-\sqrt{3};2+\sqrt{3} \right)\) .

Phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(M\left( 2-\sqrt{3};2+\sqrt{3} \right)\) là:\(d:y=y'\left( {{x}_{M}} \right)\left( x-{{x}_{M}} \right)+{{y}_{M}}=-\frac{1}{{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}\left( x-2+\sqrt{3} \right)+2+\sqrt{3}=-{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}x+4+2\sqrt{3}\).

Cho \(x=0\Rightarrow y=4+2\sqrt{3}\Rightarrow B\left( 0;4+2\sqrt{3} \right)\)

Cho \(y=0\Rightarrow x=\frac{4+2\sqrt{3}}{{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\frac{2}{2+\sqrt{3}}=4-2\sqrt{3}\Rightarrow A\left( 4-2\sqrt{3};0 \right)\)

Vậy \({{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\left| 4+2\sqrt{3} \right|\left| 4-2\sqrt{3} \right|=2\).

Chọn C.