Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB=6cm,BC=10c...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 - Áp dụng định lý Py-ta-go, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác, tính chất tam giác cân, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.

Giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta ABC\) có: \(A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\) (định lý Py-ta-go)

\(\Rightarrow A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}={{10}^{2}}-{{6}^{2}}=64\Rightarrow AC=8cm.\)

\(\Rightarrow BC>AC>AB\Rightarrow \widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}\) (quan hệ giữa cạnh và gcs trong tam giác)

b) Vì A là trung điểm của BD (gt) \(\Rightarrow \) CA là trung tuyến của \(\Delta BCD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung tuyến)

 Mà \(\Delta ABC\) vuông tại A \(\Rightarrow AC\bot AB\) nên CA là đường cao của \(\Delta BCD\)

Từ đó suy ra \(\Delta BCD\) cân tại C (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

c) Xét \(\Delta BCD\) có K là trung điểm của BC (gt) \(\Rightarrow \) DK là trung tuyến của \(\Delta BCD\)(dấu hiệu nhận biết đường trung tuyến)

Mà DK và CA cắt nhau tại M \(\Rightarrow \) M là trọng tâm của \(\Delta BCD\) (tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác)

\(\Rightarrow CM=\frac{2}{3}CA=\frac{2}{3}.8=\frac{16}{3}cm\)

d) Gọi E là giao điểm của d với AC, F là hình chiếu cảu D trên d \(\Rightarrow AE//DF,AD//FE\).

Ta có:

\(\begin{align}  & AD//FE\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{FAD}=\widehat{AFE}\left( SLT \right) \\  & AE//DF\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{DFA}=\widehat{FAE}\left( SLT \right) \\ \end{align}\)

Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta FEA\) có:

\(\begin{align}  & \widehat{FAD}=\widehat{AFE}\left( cmt \right) \\  & \widehat{DFA}=\widehat{FAE}\left( cmt \right) \\ \end{align}\)

AF chung

\(\Rightarrow \Delta ADF=\Delta FEA\left( g-c-g \right)\Rightarrow DF=EA\) (2 cạnh tương ứng)

Mà FE là đường trung trực của AC (gt) \(\Rightarrow EA=EC\) (tính chất đường trung trực)

\(\Rightarrow DF=EC\).

Lại có: \(DF//AE\left( cmt \right)\Rightarrow DF//AC\Rightarrow \widehat{FDQ}=\widehat{QCE}\left( SLT \right)\)

Xét \({{\Delta }_{v}}CQE\) và \({{\Delta }_{v}}DQF\) có:

\(DF=EC\left( cmt \right)\)

\(\widehat{FDQ}=\widehat{QCE}\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow {{\Delta }_{v}}CQE={{\Delta }_{v}}DQF\) (cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy)

\(\Rightarrow CQ=DQ\) (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow \) BQ là đường trung tuyến của \(\Delta BCD\).

Mà M là trọng tâm của \(\Delta BCD\)(cmt) \(\Rightarrow \) M, B, Q thẳng hàng.

Chọn C