1. Giải phương trình và hệ phương trình sau:a) \({...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) +) Giải phương trình trùng phương bằng cách đặt ẩn phụ \({{x}^{2}}=t\ \ \left( t\ge 0 \right)\) sau đó đưa phương trình đã cho về dạng \(a{{t}^{2}}+bt+c=0\) và giải phương trình bậc hai ẩn \(t.\)

+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. 2)

+) Thay \(x=-1\) vào phương trình đã cho để tìm \(m.\)

Sau đó thay giá trị \(m\) vừa tìm được vào phương trình để tìm nghiệm còn lại của phương trình.

+) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right..\)

+) Dựa vào biểu thức đề bài cho để tìm \(m.\)

Biến đổi biểu thức: \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right].\)

Giải chi tiết:

1/ a) Xét phương trình \({{x}^{4}}+2017{{x}^{2}}-2018=0\)(1)

Đặt \(t={{x}^{2}}\ge 0\); pt trở thành: \({{t}^{2}}+2017t-2018=0(1)\)

Pt (2) có \(a+b+c=1+2017+(-2018)=0\)nên \({{t}_{1}}=1\)(nhận); \({{t}_{2}}=-2018\)(loại)

Với \(t=1\Rightarrow x=\pm 1\).

Vậy pt (1) có hai nghiệm \(x=\pm 1\).

b) Xét hệ pt: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x + y = - 1\\
x - 2y = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x + 2y = - 2\\
x - 2y = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x = 5\\
x - 2y = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 3
\end{array} \right.\)

Vậy hpt có nghiệm \(\left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=-3 \\ \end{align} \right.\).

2/ Xét phương trình: \({{x}^{2}}-2x+m+3=0\)

a/ Khi phương trình có nghiệm \(x=-1\)thì \({{(-1)}^{2}}-2.(-1)+m+3=0\Rightarrow m=-6\)

Mà \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=2\Rightarrow \)nghiệm còn lại là \(x=3\)

b/ Ta có \({{\Delta }^{'}}={{(-1)}^{2}}-1.(m+3)=1-m-3=-(m+2)\)

Để pt có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)thì \({{\Delta }^{'}}>0\) hay \(m+2<0\Leftrightarrow m<-2\)

Khi đó, theo Vi – ét: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2;{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m+3\) Xét \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=8\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=8\) \(\Rightarrow {{2}^{3}}-3.2(m+3)=8\Rightarrow m=-3<-2\) (thỏa mãn ĐK).

Vậy \(m=-3\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)thỏa \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=8\)

Chọn D