Số đường thẳng đi qua điểm \(A\left( 0;3 \right)\)...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Dùng kết quả hàm số \(y=f\left( x \right)\) tiếp xúc với \(y=ax+b\) khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {\rm{ax}} + b\\f'\left( x \right) = a\end{array} \right.\) có nghiệm.

Giải chi tiết:

Đường thẳng qua \(A\left( 0,3 \right)\) có dạng \(d:\,y=kx+3.\) Để \(d\) tiếp xúc với \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3\) thì hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^4} - 2{x^2} + 3 = kx + 3\,\left( 1 \right)\\4{x^3} - 4x = k\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.

Thay  vào  ta nhận được \({x^4} - 2{x^2} + 3 = \left( {4{x^3} - 4x} \right)x + 3 \Leftrightarrow 3{x^4} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow k = 0\\x =  - \sqrt {\frac{2}{3}}  \Rightarrow k = \frac{4}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} \\x = \sqrt {\frac{2}{3}}  \Rightarrow k =  - \frac{4}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} \end{array} \right..\)

Vậy có  3 đường thẳng đi qua \(A\left( 0;3 \right)\) tiếp xúc với \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3.\)

Chọn đáp án B