Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy là hình thang vuông...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({{V}_{SNED}}=\frac{1}{3}d\left( S,\left( NDE \right) \right){{S}_{\Delta NDE}}.\)Tính \({{S}_{\Delta NDE}},\,{{V}_{SNED}}\) để suy ra \(d\left( S,\left( NDE \right) \right).\)

Giải chi tiết:

Gọi \(E=AB\cap CD,\,G=NE\cap SB.\)

Vì \(BC//AD,\,\,BC=\frac{1}{2}AD\) nên BC là đường trung bình của tam giác ADE.

Do đó \(B,C\)lần lượt là trung điểm của \(AE,DE.\)

Do đó \(G\) là trọng tâm của \(\Delta SAE.\)

Kéo theo \(SG=\frac{2}{3}SB.\)

Mà \(SM=\frac{1}{2}SB,\) nên\(SG=\frac{4}{3}SM=\frac{4}{3}\left( SG-MG \right)\Rightarrow SG=4MG.\)

Do đó

\(d\left( S,\left( NCD \right) \right)=d\left( S,\left( NED \right) \right)=4d\left( M,\left( NED \right) \right)\Rightarrow d\left( M,\left( NCD \right) \right)=\frac{1}{4}d\left( S,\left( NCD \right) \right).\)

Ta có \({{S}_{\Delta AED}}=\frac{1}{2}AD.AE=\frac{1}{2}\left( 2a \right)\left( 2a \right)=2{{a}^{2}}\Rightarrow {{V}_{NAED}}=\frac{1}{3}NA.{{S}_{\Delta AED}}=\frac{1}{3}\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)\left( 2{{a}^{2}} \right)=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.\)\({{V}_{SAED}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta AED}}=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\Rightarrow {{V}_{SNED}}={{V}_{SAED}}-{{V}_{NAED}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.\)

Mặt khác gọi \(P\)là trung điểm của \(AD,\) thì \(CP\bot AD,\,CP=PD\Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C.\)

Do đó \(CD\bot AC.\) Mà \(CD\bot SA\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow CD\bot NC.\)

Ta có \(N{{C}^{2}}=N{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}=N{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}+2{{a}^{2}}=\frac{11{{a}^{2}}}{4}.\)\(E{{D}^{2}}=A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}=8{{a}^{2}}\Rightarrow {{S}_{\Delta NDE}}=\frac{1}{2}NC.ED=\frac{1}{2}\left( \frac{a\sqrt{11}}{2} \right)\left( 2\sqrt{2}a \right)=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{22}}{2}.\)

Vì \({{V}_{SNED}}=\frac{1}{3}d\left( S,\left( NDE \right) \right){{S}_{\Delta NDE}}\Rightarrow d\left( S,\left( NDE \right) \right)=\frac{3{{V}_{SNED}}}{{{S}_{\Delta NDE}}}=\frac{3\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}}{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{22}}{3}}=\frac{a\sqrt{66}}{11}.\)

Chọn đáp án C.