Cho hai số thực \(x\ne 0,\,\,y\ne 0\) thay đổi và...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, đưa về hàm một biến, dựa vào giả thiết để tìm điều kiện của biến

Giải chi tiết:

Từ giả thiết chia cả 2 vế cho \({{x}^{2}}{{y}^{2}}\) ta được : \(\frac{x+y}{xy}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}-\frac{1}{xy}.\)

Đặt \(\frac{1}{x}=a,\,\,\frac{1}{y}=b,\) ta có \(a+b={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab\)

Khi đó \(M=\frac{1}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{y}^{3}}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)={{\left( a+b \right)}^{2}}.\)

Ta có \(a+b={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab\Leftrightarrow a+b={{\left( a+b \right)}^{2}}-3ab\) mà \(ab\le {{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}\) nên \(a+b\ge {{\left( a+b \right)}^{2}}-\frac{3}{4}{{\left( a+b \right)}^{2}}\)

\(\Rightarrow \,\,{{\left( a+b \right)}^{2}}-4\left( a+b \right)\le 0\Rightarrow \,\,0\le a+b\le 4.\) Suy ra \(M={{\left( a+b \right)}^{2}}\le 16.\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=2\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.\) Vậy \({{M}_{\max }}=16.\)

Chọn D.