Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = {3^{\frac{n}{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n}.q\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\,(n \in {N^*},\,\,q\) là hằng số)

Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\)được xác định bởi công thức : \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Giải chi tiết:

Ta có: \({u_1} = {3^{\frac{1}{2} + 1}} = 3\sqrt 3 .\)

 Xét: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{3^{\frac{{n + 1}}{2} + 1}}}}{{{3^{\frac{n}{2} + 1}}}} = \sqrt 3 \,\,,\forall n \in {N^*} \Rightarrow \) Dãy số là cấp số nhân với \({u_1} = 3\sqrt 3 ;q = \sqrt 3 \).

Ta có \({u_2};\;{u_4};\;{u_6}; \ldots ;\;{u_{20}}\) lập thành cấp số nhân số hạng đầu \({u_2} = 9;\;q = 3\) và có 10 số hạng  nên

\(S = {u_2}.\frac{{1 - {3^{10}}}}{{1 - 3}} = 9.\frac{{{3^{10}} - 1}}{2} = \frac{9}{2}\left( {{3^{10}} - 1} \right).\)

 Chọn C.