Tính tổng: \(S = {\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là \({S_n} = {u_1}\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Giải chi tiết:

Ta có :  \(S = {\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {4 + \frac{1}{4}} \right)^2} + ..... + {\left( {{2^n} + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)^2}\)

                \(\begin{array}{l} = \left( {4 + 2 + \frac{1}{4}} \right) + \left( {16 + 2 + \frac{1}{{16}}} \right) + ... + \left( {{2^{2n}} + 2 + \frac{1}{{{2^{2n}}}}} \right)\\ = 4 + 2 + \frac{1}{4} + 16 + 2 + \frac{1}{{16}} + ......... + {2^{2n}} + 2 + \frac{1}{{{2^{2n}}}}\\ = \left( {4 + 16 + ... + {2^{2n}}} \right) + 2n + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + ... + \frac{1}{{{2^{2n}}}}} \right).\end{array}\)

Ta thấy : \(4;\;16;\;\;.....;\;{2^{2n}}\) là CSN có \({u_1} = 4;\;\;q = 4.\)

\(\frac{1}{4};\;\frac{1}{{16}};\;\;...;\;\frac{1}{{{2^{2n}}}}\) là CSN có \({u_1} = \frac{1}{4},\;q = \frac{1}{4}.\)

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là \({S_n} = {u_1}\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}\)

\(\begin{array}{l}S = 4.\frac{{{4^n} - 1}}{{4 - 1}} + 2n + \frac{1}{4}.\frac{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n} - 1}}{{\frac{1}{4} - 1}} = 4.\frac{{{4^n} - 1}}{3} + 2n + \frac{1}{3}.\frac{{{4^n} - 1}}{{{4^n}}}\\ = 2n + \frac{{{4^n} - 1}}{3}\left( {4 + \frac{1}{{{4^n}}}} \right) = 2n + \frac{{{4^n} - 1}}{3}.\frac{{{{4.4}^n} + 1}}{{{4^n}}} = 2n + \frac{{\left( {{4^n} - 1} \right).\left( {{4^{n + 1}} + 1} \right)}}{{{{3.4}^n}}}\end{array}\)

Chọn A.