Cho \(n>3\,\,\left( n\in \mathbb{N} \right)\)....

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp của \(n\) và đánh giá.

Giải chi tiết:

Dễ thấy \(b\) luôn là số chẵn nên ta cần chứng minh trong \(a,\,\,b\) có một số chia hết cho 3.

+) TH1: \(n=4k\) thì \({2^n} = {2^{4k}} = {16^k} = \overline {...6}  \Rightarrow b = 6 \Rightarrow 6|ab\)

+) TH2: \(n = 4k + 1 \Rightarrow {2^n} = {2^{4k + 1}} = {2.16^k} - 2 + 2 = 2\left( {16 - 1} \right)A + 2 = 2.15A + 2 \equiv 2\,\,\,\left( {\bmod 3} \right)\)

    Từ  suy ra \({2^n}\)có tận cùng là 2 nên \(b = 2 \Rightarrow 10a\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,3\). Từ đó suy ra \(6|ab\).

+) TH3: \(n = 4k + 2 \Rightarrow {2^n} = {2^{4k + 2}} = {4.16^k} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\)

    Từ \(n=4k+2\Rightarrow {{2}^{n}}\)có tận cùng là 4 nên \(b = 4 \Rightarrow 10a\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,3\). Từ đó suy ra \(6|ab\).

+) TH4: \(n = 4k + 3\). Tương tự như TH2  \( \Rightarrow 6|ab\).

Vậy với \(n > 3\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) , nếu \({{2}^{n}}=10a+b\,\,\,\left( 0<b<9 \right)\)  thì \(6|ab\) .