Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có \(AB = a,\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng:

Công thức tính thể tích khối trụ \(V = \pi {r^2}h\) trong đó r, h lần lượt l bán kính đáy và đường cao của hình trụ.

Công thức tính thể tích khối nón \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\) trong đó r, h lần lượt l bán kính đáy và đường cao của hình nón.

Giải chi tiết:

Dựng \(CH \bot AD\,\,\left( {H \in AD} \right);\,\,CK//AD,\,\,CK = HD\).

Ta có \(HD = CK = 3a - x; CH = KD = AB = a\).

Khi quay hình thang vuông ABCD quanh cạnh BC ta được một khối tròn xoay có thể tích là:

\(\begin{array}{l}{V_1} = \pi .A{B^2}.AD - \frac{1}{3}\pi .K{D^2}.CK = \pi .{a^2}.3a - \frac{1}{3}\pi .{a^2}.\left( {3a - x} \right)\\\,\,\,\,\, = 3\pi {a^3} - \pi {a^3} + \frac{1}{3}\pi {a^2}x = 2\pi {a^3} + \frac{1}{3}\pi {a^2}x\end{array}\)

Khi quay hình thang vuông ABCD quanh cạnh AD ta được một khối tròn xoay có thể tích là:

\(\begin{array}{l}{V_2} = \pi A{B^2}.BC + \frac{1}{3}\pi .C{H^2}.HD = \pi .{a^2}.x + \frac{1}{3}\pi .{a^2}.\left( {3a - x} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \pi {a^2}x + \pi {a^3} - \frac{1}{3}\pi {a^2}x = \pi {a^3} + \frac{2}{3}\pi {a^2}x\end{array}\)

Theo giả thiết ta có: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{5} \Leftrightarrow 5{V_1} = 7{V_2} \Leftrightarrow 5\left( {2\pi {a^3} + \frac{1}{3}\pi {a^2}x} \right) = 7\left( {\pi {a^3} + \frac{2}{3}\pi {a^2}x} \right) \Leftrightarrow 10a + \frac{5}{3}x = 7a + \frac{{14}}{3}x \Leftrightarrow x = a\).

Chọn A.