Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\) và giải phương trình \(y' = 0\)

- Tìm khoảng nghịch biến của hàm số và thay vào điều kiện bà cho tìm \(m\).

Giải chi tiết:

\(y = 2{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 6\left( {m - 2} \right)x + 3\) \( \Rightarrow y' = 6{x^2} + 6\left( {m - 1} \right)x + 6\left( {m - 2} \right) = 6\left[ {{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 2} \right]\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 = {x_1}\\x = 2 - m = {x_2}\end{array} \right.\)

Nếu \( - 1 = 2 - m \Leftrightarrow m = 3\) thì \(y' = 6{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0,\forall x \in R\) nên hàm số đồng biến trên R (không thỏa mãn).

Nếu \(m \ne 3\) thì phương trình \(y' = 0\) luôn có \(2\) nghiệm phân biệt nên hàm số nghịch biến có hai điểm cực trị và nó nghịch biến trong khoảng hai điểm đó.

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn \(3\) \( \Leftrightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| > 3 \Leftrightarrow \left| { - 1 - 2 + m} \right| > 3 \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| > 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 > 3\\m - 3 <  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 0\end{array} \right.\)

Vậy \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\)

Mà \(m\) nguyên dương và nhỏ hơn \(2018\) nên \(m \in \left\{ {7;8;...;2017} \right\}\) hay có \(2017 - 7 + 1 = 2011\) số \(m\) thỏa mãn.

Chọn C.