Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình \(\sin \left(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \(\cos \left( {\pi  - x} \right) = \cos x\) và \(\cos x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) để đưa phương trình về dạng cơ bản để tìm nghiệm của phương trình.

+) Sau đó tìm các nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;\frac{\pi }{2}} \right)\)  rồi tìm nghiệm lớn nhất của phương trình thuộc khoảng đó.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2x} \right) + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2x} \right) =  - \cos x\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2x} \right) = \cos \left( {\pi  - x} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2x} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \pi  + x} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3\pi }}{4} - 2x = x - \frac{\pi }{2} + m2\pi \\\frac{{3\pi }}{4} - 2x = \pi  - x + \frac{\pi }{2} + n2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{5\pi }}{4} + m2\pi \\x =  - \frac{{3\pi }}{4} + n2\pi \end{array} \right.\; \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} + m\frac{{2\pi }}{3}\\x =  - \frac{{3\pi }}{4} + n2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {m,n \in Z} \right).\end{array}\)

Phương trình có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} < \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{m2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2}\\ - \frac{\pi }{2} <  - \frac{{3\pi }}{4} + n2\pi  < \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{{11\pi }}{{12}} < \frac{{m2\pi }}{3} < \frac{\pi }{{12}}\\\frac{\pi }{4} < n2\pi  < \frac{{5\pi }}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{{11}}{8} < m < \frac{1}{8}\\\frac{1}{8} < n < \frac{5}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1,375 < m < 0,125\\0,125 < m < 0,625\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \in \left\{ { - 1;\;0} \right\}\\n = \emptyset \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{4}\\x = \frac{{5\pi }}{{12}}\end{array} \right. \Rightarrow {x_{\max }} = \frac{{5\pi }}{{12}}.\end{array}\)

Chọn D.