Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Quy về dạng \(\sin \,x = f(m) \Rightarrow  - 1 \le f(m) \le 1\)

+) Giải điều kiện tìm m.

Giải chi tiết:

TH1. Với \(m = 2\), phương trình \(\left( {m - 2} \right)\sin 2x = m + 1 \Leftrightarrow 0 = 3\): vô lý.

Suy ra \(m = 2\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

TH2. Với \(m \ne 2\), phương trình \(\left( {m - 2} \right)\sin 2x = m + 1 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{m + 1}}{{m - 2}}.\)

Để phương trình \(\left(  *  \right)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{m - 2}} \notin \left[ { - \,1;1} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{m + 1}}{{m - 2}} > 1\\\frac{{m + 1}}{{m - 2}} <  - \,1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{m + 1}}{{m - 2}} - 1 > 0\\\frac{{m + 1}}{{m - 2}} + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{3}{{m - 2}} > 0\\\frac{{2m - 1}}{{m - 2}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\\frac{1}{2} < m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{2}\\m \ne 2\end{array} \right..\)

Kết hợp hai trường hợp, ta được \(m > \frac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.

Chọn D