Phương trình\(\cos 3x = \cos x + \sin x\)có tổng c...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dùng công thức: \(\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\)đưa phương trình về dạng đẳng cấp của sin và cos

Giải chi tiết:

Phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos 3x = \cos x + \sin x\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - 3\cos x = \cos x + \sin x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + 4\cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) - 4{\cos ^3}x = 0\end{array}\)

Nhận thấy \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\) và đặt \(\tan x = t\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {t + 4} \right)\left( {{t^2} + 1} \right) - 4t = 0 \Leftrightarrow {t^3} + 4{t^2} + t = 0 \Leftrightarrow t\left( {{t^2} + 4t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  - 2 - \sqrt 3 \\t =  - 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\\tan x =  - 2 - \sqrt 3 \\\tan x =  - 2 + \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right).\end{array}\)

Dễ dàng tìm được: nghiệm dương bé nhất là \( - \frac{{5\pi }}{{12}} + \pi  = \frac{{7\pi }}{{12}}\); nghiệm âm lớn nhất là \( - \frac{\pi }{{12}}\). Tổng hai nghiệm đó là \(\frac{\pi }{2}\).

Chọn B.