Phương trình  \((\sin x\cos x - 1)\cos \left( {2\p...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức: \(\cos \left( {2\pi  - 2x} \right) = \cos 2x.\)

+) Đưa về phương trình tích.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;(\sin x\cos x - 1)\cos \left( {2\pi  - 2x} \right) + \cos x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow (\sin x\cos x - 1)\cos 2x + \cos x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x\cos x - 1} \right)\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) + \left( {\cos x - \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x\cos x - 1} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right) + \left( {\cos x - \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow (\cos x - \sin x)\left[ {\left( {\sin x\cos x - 1} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right) + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x - \sin x = 0\quad \quad (1)\\(\sin x\cos x - 1)(\cos x + \sin x) + 1 = 0\quad \quad (2)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \;\;\left( {k \in Z} \right).\end{array}\)

Giải phương trình (2):

Đặt \(t = \sin x + \cos x\;\;\left( {\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow {t^2} = 1 + 2\sin x.\cos x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\\\sin 2x = {t^2} - 1\end{array} \right.\;\;\;\left( * \right)\)  

 \(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {\frac{{{t^2} - 1}}{2} - 1} \right).t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{t^2} - 3} \right)t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {t^3} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow (t - 1)({t^2} + t - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - 2\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{m\pi }}{2}\;\;\left( {m \in Z} \right).\end{array}\)  

Phương trình có nghiệm dương nhỏ hơn \(2\pi \)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{4} + k\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} < k < \frac{7}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\;1} \right\}\;\\0 < \frac{{m\pi }}{2} < 2\pi  \Leftrightarrow 0 < m < 4 \Leftrightarrow m \in \left\{ {1;\;2;\;3} \right\}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 5 nghiệm thõa mãn.

Chọn A.