Tìm \(a\) và \(b\) để phương trình \({x^3} + ax +...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dạng phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\,\,\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in R} \right)\).

Phương trình nếu có \(3\)  nghiệm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} + {x_3} = \frac{{ - b}}{a}\\T = {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \frac{c}{a}\\P = {x_1}{x_2}{x_3} = \frac{{ - d}}{a}\end{array} \right..\)

Giải chi tiết:

\({x^3} + ax + b = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Theo hệ thức  Vi-ét, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_3} = 0}\\{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = a}\\{{x_1}{x_2}{x_3} =  - b}\end{array}} \right.\)

 Mặt khác \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\) nên ta suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}2{x_2} + {x_2} = 0\\{x_2}\left( {{x_1} + {x_3}} \right) + {x_1}{x_3} = a\\{x_1}{x_2}{x_3} =  - b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x_2} + {x_2} = 0}\\{2{x_2}^2 + {x_3}\left( {2{x_2} - {x_3}} \right) = a}\\{{x_1}{x_2}{x_3} =  - b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2} = 0}\\{\left( {2{x_2} - {x_3}} \right){x_3} = a}\\{0 =  - b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2} = 0}\\{{x_3}^2 =  - a}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Thay \(b = 0\) vào \(\left( 1 \right):{x^3} + ax = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + a} \right) =  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{{x^2} =  - a}\end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow  - a > 0 \Leftrightarrow a < 0.\)

Chọn A.