Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAB}}}}\).

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm BC \( \Rightarrow SH \bot BC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông ABC có:

\(AB = BC.\cos {30^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,\,AC = BC.\sin {30^0} = \frac{a}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8} = \frac{{{a^3}}}{{16}}\).

Gọi E là trung điểm của AB ta có: \(HE\) là đường trung bình của tam giác ABC \( \Rightarrow HE//AC\) và \(HE = \frac{{AC}}{2} = \frac{a}{4}\).

Mà \(AB \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow HE \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HE\\AB \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow AB \bot SE\).

Xét tam giác vuông SHE có: \(SE = \sqrt {S{H^2} + H{E^2}}  = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}SE.AB = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt {13} }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt {39} }}{{16}}\).

Vậy \(d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAB}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}}}{{16}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt {39} }}{{16}}}} = \frac{{3a}}{{\sqrt {39} }} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Chọn C.