Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \r...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\) khi phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0.\)

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét với phương trình hoành độ giao điểm: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right..\)

Giải chi tiết:

a) 

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình.

\({{x}^{2}}=2\left( m-1 \right)x+m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m+1 \right)=0\)              (1)

Xét \(\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( -\left( m+1 \right) \right)={{m}^{2}}-2m+1+m+1={{m}^{2}}-m+2={{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}>0\ \left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\). Suy ra \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\). 

b) 

Vì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt nên theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=2\left( m-1 \right) \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\left( m+1 \right) \\ \end{align} \right.\)

Theo đề bài ta có: \({{x}_{1}}+3{{x}_{2}}-8=0\). Xét hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\
{x_1} + 3{x_2} = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2\left( {m - 1} \right) - {x_2}\\
2{x_2} = 8 - 2\left( {m - 1} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 3m - 7\\
{x_2} = 5 - m
\end{array} \right.\)

Mà có: \({{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\left( m+1 \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {3m - 7} \right)\left( { - m + 5} \right) = - m - 1\\
\Leftrightarrow - 3{m^2} + 22m - 35 = - m - 1\\
\Leftrightarrow - 3{m^2} + 23m - 34 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {3m - 17} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = \frac{{17}}{3}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy \(m=2;m=\frac{17}{3}\) là các giá trị của cần tìm của \(m\).

Chọn A