1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho các đường th...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Tìm giao điểm của đường thẳng \({d_1},\;\;{d_2}\) sau đó thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng \({d_3}\) để tìm \(k.\)

2) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

Giải chi tiết:

1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho các đường thẳng có phương trình: \(\left( {{d_1}} \right):\;\;y = x + 2,\;\;\left( {{d_2}} \right):\;\;y =  - 2\)  và \(\;\left( {{d_3}} \right):\;\;y = \left( {k + 1} \right)x + k.\) Tìm \(k\) để các đường thẳng trên đồng quy.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = x + 2\\y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 4;\; - 2} \right).\)

\( \Rightarrow \) Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi đường thẳng \({d_3}\) phải đi qua điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right) \Rightarrow  - 2 = \left( {k + 1} \right)\left( { - 4} \right) + k\)

\( \Leftrightarrow  - 2 =  - 4k - 4 + k \Leftrightarrow 3k =  - 2 \Leftrightarrow k =  - \frac{2}{3}.\)

Vậy \(k =  - \frac{2}{3}.\)

2) Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\(A = \left( {\frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  - 1}}{3}\) (với \(x \ge 0,\;\;x \ne 1\)).

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  - 1}}{3}\\\;\;\; = \left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right).\frac{3}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\;\; = \frac{{ - \left( {x + \sqrt x  + 1} \right) + x + 2 + \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{3}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\;\; = \frac{{ - x - \sqrt x  - 1 + x + 2 + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{3}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\; = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{3}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{3}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{3}{{x + \sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Ta có: \(A = \frac{3}{{x + \sqrt x  + 1}}\)  

Ta có: \(x \ge 0,x \ne 1 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow x + \sqrt x  + 1 \ge 1 \Rightarrow \frac{3}{{x + \sqrt x  + 1}} \le 3\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 3. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x = 0\)

Chọn B.