a) Xác định các giá trị của \(m\)...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) +) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},\ {{x}_{2}}\)  

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\\end{align} \right.\)  

b) Nhận thấy : \(3{{x}^{2}}-x+1-(3{{x}^{2}}-7x+2)-2=6x-3\)  Từ đó đặt ẩn phụ rồi lập phương 2 vế.

Giải chi tiết:

a) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+6m+9>0\Leftrightarrow {{\left( m+3 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne -3\)

Áp dụng định lí Vi-et ta có  \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}.{x_2} = - 6m - 9
\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có : \(\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{2{{x}_{2}}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{x}_{2}}}{2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}=\frac{1}{3}\)  

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có : \(\frac{{{x}_{2}}+2m}{2\left( -6m-9 \right)}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow 3{{x}_{2}}+6m=-12m-18\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-6m-6\)

Mà có : \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\Rightarrow {{x}_{1}}=2m-{{x}_{2}}=2m+6m+6=8m+6\)

Ta có: \({{x}_{1}}{{x}_{2}}=-6m-9\Rightarrow \left( -6m-6 \right).\left( 8m+6 \right)=-6m-9\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {2m + 2} \right)\left( {8m + 6} \right) = 2m + 3\\
\Leftrightarrow 16{m^2} + 28m + 12 = 2m + 3\\
\Leftrightarrow 16{m^2} + 26m + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{{ - 1}}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\
m = \frac{{ - 9}}{8}\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy \(m=-\frac{1}{2};\ \ m=-\frac{9}{8}\) là các giá trị cần tìm.

b)   ĐKXĐ:  \(x\in \mathbb{R}\)

 Đặt \(\left\{ \begin{align}  & \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}=a \\ & \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}=b \\\end{align} \right.\) .

Ta có: \({{a}^{3}}-{{b}^{3}}=3{{x}^{2}}-x+1-3{{x}^{2}}+7x-2=6x-1\)  

\(\Rightarrow 6x-3={{a}^{3}}-{{b}^{3}}-2\Rightarrow \sqrt[3]{6x-3}=\sqrt[3]{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}-2}\)  

Phương trình đã cho trở thành:   

\(a-b-\sqrt[3]{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}-2}=\sqrt[3]{2}\Leftrightarrow a-b-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}-2}\ \ \ \left( * \right)\)

Lập phương 2 vế ta được :

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left[ {\left( {a - b} \right) - \sqrt[3]{2}} \right]^3} = {a^3} - {b^3} - 2\\
\Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^3} - 3\sqrt[3]{2}{\left( {a - b} \right)^2} + 3\sqrt[3]{4}\left( {a - b} \right) - 2 = {a^3} - {b^3} - 2\\
\Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} - 3\sqrt[3]{2}\left( {a - b} \right) + 3\sqrt[3]{4}} \right] = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} - 3\sqrt[3]{2}\left( {a - b} \right) + 3\sqrt[3]{4} - \left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)} \right]\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a - b = 0\\
{\left( {a - b} \right)^2} - 3\sqrt[3]{2}\left( {a - b} \right) + 3\sqrt[3]{4} = {a^2} + ab + {b^2}
\end{array} \right..
\end{array}\)

+) Với \(a=b\) ta có: \(\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}=\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-x+1=3{{x}^{2}}-7x+2 \\ & \Leftrightarrow 6x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}. \\\end{align}\)

+) Với \({{\left( a-b \right)}^{2}}-3\sqrt[3]{2}\left( a-b \right)+3\sqrt[3]{4}={{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;{\left( {a - b} \right)^2} - 3\sqrt[3]{2}\left( {a - b} \right) + 3\sqrt[3]{4} = {a^2} + ab + {b^2}\\
\Leftrightarrow \;{\left( {a - b} \right)^2} - 3\sqrt[3]{2}\left( {a - b} \right) + 3\sqrt[3]{4} = {\left( {a - b} \right)^2} + 3ab\\
\Leftrightarrow - \sqrt[3]{2}\left( {a - b} \right) + \sqrt[3]{4} = ab\\
\Leftrightarrow - \sqrt[3]{2}a + \sqrt[3]{2}b + \sqrt[3]{4} - ab = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt[3]{2}\left( {\sqrt[3]{2} - a} \right) + b\left( {\sqrt[3]{2} - a} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{2} + b} \right)\left( {\sqrt[3]{2} - a} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a - \sqrt[3]{2} = 0\\
b + \sqrt[3]{2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \sqrt[3]{2}\\
b = - \sqrt[3]{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Với \(a=\sqrt[3]{2}\Rightarrow \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}=\sqrt[3]{2}\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}-x+1=2\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}-x-1=0\Leftrightarrow x\approx 0,85\)  

Với \(b=-\sqrt[3]{2}\Rightarrow \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}=-\sqrt[3]{2}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-7x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\ & x=\frac{4}{3} \\\end{align} \right.\)   

Vậy phương trình đã cho có tập  nghiệm \(S=\left\{ 0,85;\ \frac{1}{6};\ 1;\ \frac{4}{3} \right\}\)

Chọn B