a) Cho biểu thức   \(A = \frac{{2(x - 1)}}{{\sqrt...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Phân thức là một số nguyên khi tử số chia hết cho mẫu số.

Giải chi tiết:

a) Cho biểu thức   \(A = \frac{{2(x - 1)}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{{x^2} - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{2x + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 1\). Chứng minh rằng: \(A \ge \frac{3}{4}\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{{x^2} - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{2x + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\\ = 2\left( {\sqrt x  + 1} \right) + \frac{{\sqrt x \left( {x\sqrt x  - 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}} - 2\sqrt x  - 1\\ = 1 + \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) = x - \sqrt x  + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\end{array}\)

Vậy \(A \ge \frac{3}{4}.\)  Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x  - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

b) Tìm tất cả cặp số nguyên \(\left( {x;\,y} \right)\)  thỏa mãn: \(y = \frac{1}{{x + 1}} + \frac{8}{{x - 4}}\)

Ta có: \(y = \frac{1}{{x + 1}} + \frac{8}{{x - 4}} = \frac{{9x + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{9x + 4}}{{{x^2} - 3x - 4}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{{9x + 4}}{{{x^2} - 3x - 4}} \in \mathbb{Z}\\ \Rightarrow \left( {9x + 4} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {{x^2} - 3x - 4} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {9x + 4} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {x + 1} \right)\\\left( {9x + 4} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {x - 4} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Có: \(\left( {9x + 4} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {x + 1} \right) \Rightarrow \left[ {9x + 4 - 9\left( {x + 1} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {x + 1} \right) \Rightarrow  - 5\,\, \vdots \,\,\left( {x + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 5 \Leftrightarrow x = 4\\x + 1 =  - 5 \Leftrightarrow x =  - 6\\x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\\x + 1 =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 2\end{array} \right.\)

Thay vào biểu thức y ta có: \(\left[ \begin{array}{l}x = 4 \Rightarrow \frac{8}{{x - 4}} = \frac{8}{0}\,\,\left( {ktm} \right)\\x =  - 6 \Rightarrow y = \frac{1}{{ - 5}} + \frac{8}{{ - 10}} =  - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 0 \Rightarrow y = 1 - 2 =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 2 \Rightarrow y =  - 1 + \frac{8}{{ - 6}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy các cặp số thỏa mãn bài toán là \(\left( {x;\,y} \right) = \left\{ {\left( { - 6; - 1} \right),\,\,\left( {0; - 1} \right)} \right\}.\)

Chọn B.