Cho tam giác \(ABC\ \ \left( CA>CB \right)\) nộ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)     Chứng minh đây là tứ giác có 2 góc đối diện vuông.

b)     Chứng minh tam giác AMP cân, từ đó suy ra phân giác cũng là đường cao.

c)     Lưu ý khi M, K, O thằng hàng tức là O trùng với P.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng: tứ giác \(MKCH\)  nội tiếp.

Do MP vuông góc AC và AH vuông góc CH nên: \(\angle MHC=\angle MKC={{90}^{0}}\)

\(\Rightarrow \angle MHC+\angle MKC={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\)

Do đó tứ giác MKCH nội tiếp a(dhnb).

b) Chứng minh \(AC\)  là phân giác góc \(MAB.\)

Ta có: \(\angle HCA=\angle CBA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây

cung cùng chắn cung \(AC\)).

Lại có: \(\left\{ \begin{align}  & \angle HAC+\angle ACH={{90}^{0}} \\  & \angle CAB+\angle CBA={{90}^{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \angle HAC=\angle CAB\)

Hay \(AC\)  là phân giác góc \(MAB.\)  (đpcm)

c) Tìm điều kiện tam giác \(\Delta ABC\)  để \(M,\ K,\ O\)  thẳng hàng.

Để M, K, O thẳng hàng thì O phải trùng với P do P là giao điểm MK với AB.

Khi đó do OC // AH (cùng vuông với tiếp tuyến tại C), hơn nữa tam giác AMP cân nên AK là đường trung tuyến, do vậy MK = KP.

Tới đây thì AMCO là hình thoi (hai đường chéo vuông góc với nhau), do vậy MC // AB.

Ta có: \(\angle HMC=\angle HAB=2\angle MAC=2\angle HCM\) (Tính chất tiếp tuyến HC và góc chắn cung MC).

Do vậy tam giác HCM vuông, nên:

\(\left\{ \begin{align}  & \angle HMC={{60}^{0}} \\  & \angle HCM={{30}^{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \angle CAB=\angle CAM=\angle HCM={{30}^{0}}.\)

Vậy để M, K, O thẳng hàng thì tam giác ABC là tam giác vuông tại C có \(\angle CAB={{30}^{0}}.\)