Cho phương trình: \( {{x}^{2}}-(2m+1)x+{{m}^{2}}+1...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-        Câu a ta sẽ sử dụng \( \Delta >0\) thì phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt.

-        Ở câu b ta sẽ sử dụng định lý Vi-et đối với phương trình bậc 2.

Giải chi tiết:

a)     Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì

\( \begin{align}  & \Delta >0\Leftrightarrow {{(2m+1)}^{2}}-4({{m}^{2}}+1)>0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m+1-4{{m}^{2}}-4>0 \\ & \Leftrightarrow 4m-3>0\Leftrightarrow m>\frac{3}{4}. \\\end{align}\)

Vậy \( m>\frac{3}{4}\)  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b)     Gọi \( {{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là 2 nghiệm phân biệt của m. Tìm m để \( {{x}_{1}},\ \ {{x}_{2}}\)  thỏa mãn \( {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}={{x}_{1}}\)

Với \( m>\frac{3}{4}\)  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \( {{x}_{1}},\ \ {{x}_{2}}.\)  

Theo hệ thức Vi-et ta có: \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+1 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}+1 \\\end{align} \right..\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {({x_1} - {x_2})^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = {({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2}\\
\; = {(2m + 1)^2} - 4({m^2} + 1) = 4m - 3 = {x_1}\\
\Rightarrow {x_2} = 2m + 1 - {x_1} = 2m + 1 - 4m + 3 = 4 - 2m.\\
\Rightarrow {x_1}{x_2} = {m^2} + 1\\
\Leftrightarrow \left( {4m - 3} \right)\left( {4 - 2m} \right) = {m^2} + 1\\
\Leftrightarrow 16m - 8{m^2} - 12 + 6m = {m^2} + 1\\
\Leftrightarrow 9{m^2} - 22m + 13 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {9m - 13} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m - 1 = 0\\
9m - 13 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\;\;\left( {tm} \right)\\
m = \frac{{13}}{9}\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy \( m=1,\ \ m=\frac{13}{9}\)  thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn A