Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\) có đồ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

+) Gọi \(M\left( {m;\frac{{2m - 3}}{{m - 2}}} \right) \in \left( C \right)\), tính khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận.

+) Sử dụng BĐT Cauchy để tìm GTNN của d.

Giải chi tiết:

TXĐ : \(D = R\backslash \left\{ 2 \right\}\). Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là \(x = 2\,\,\left( {{d_1}} \right)\) và \(y = 2\,\,\left( {{d_2}} \right)\).

Gọi \(M\left( {m;\frac{{2m - 3}}{{m - 2}}} \right) \in \left( C \right)\) ta có :

\(\begin{array}{l}d\left( {M;{d_1}} \right) = \left| {m - 2} \right|;\,\,d\left( {M;{d_2}} \right) = \left| {\frac{{2m - 3}}{{m - 2}} - 2} \right| = \frac{1}{{\left| {m - 2} \right|}}\\ \Rightarrow d = \left| {m - 2} \right| + \frac{1}{{\left| {m - 2} \right|}}\mathop  \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {\left| {m - 2} \right|.\frac{1}{{\left| {m - 2} \right|}}}  = 2\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\)

Vậy \({d_{\min }} = 2\).

Chọn C.