Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, C là một...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chứng minh \(\angle DCM + \angle MAB = {180^0};\angle NDC + \angle NBD = {180^0}\) suy ra tứ giác ADCM và BDCN là tứ giác nội tiếp.

2) Ta chứng minh \(\angle CMD + \angle CND = {90^0} \Rightarrow \angle MDN = {90^0} \Rightarrow MD \bot DN.\)

3) Chứng minh  \(\angle BCN = \angle ACD,\angle CAD = \angle CBN\)       suy ra các tam giác ADC và BNC đồng dạng (g-g).

4) Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau  \(\angle CPQ = \angle CAD \Rightarrow PQ//AB.\)

Giải chi tiết:

1) Chứng minh tứ giác ADCM nội tiếp và tứ giác BDCM nội tiếp.

Theo bài ra ta có: \(\angle DCM = \angle NCD = {90^0}.\)    

Do AM, BN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB nên \(\angle NBA = \angle MAB = {90^0}.\)(tính chất)

Tứ giác \(ADMC\) có: \(\angle MAD + \angle MCD = {180^0} \Rightarrow ADCM\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)

Tứ giác \(BDCN\) có: \(\angle NBD + \angle DCN = {180^0} \Rightarrow BDCN\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).(đpcm)  

2) Chứng minh \(MD \bot DN.\)

Ta có tứ giác ADCM, BDCN là tứ giác nội tiếp suy ra \(\angle CAD = \angle CMD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

\(\angle CND = \angle CBD\)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

\( \Rightarrow \angle CAD + \angle CBA = \angle CMD + \angle CND.\;\;\;\left( 1 \right)\)

Ta lại có \(\angle ACB\) là góc chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)  nên \(\angle ACB = {90^0}\).

Trong tam giác ACB có:

 \(\angle ACB = {90^0} \Rightarrow \angle CAB + \angle CBA = {90^0}\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle CMD + \angle CND = {90^0}\\ \Rightarrow \angle MDN = {90^0} \Rightarrow MD \bot DN\;\;(dpcm).\end{array}\)

3) Chứng minh rằng các tam giác ADC và BNC đồng dạng.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle DCB + \angle BCN = {90^0}\;\;\;\left( {DC \bot MN} \right)\\\angle DCB + \angle ACD = {90^0}\;\;\left( {\angle ACB = {{90}^0}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \angle BCN = \angle ACD\;\;\;(3)\)

Ta lại có: \(\angle DMC = \angle CAD\) (cm b)

\(\angle CAD = \angle CBN\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC).

\( \Rightarrow \angle CAD = \angle CBN\;\;\;(4)\)  \(\)

Từ (3) và (4)  ta có: \(\Delta ADC \sim \Delta BNC\;\;\left( {g - g} \right)\;\;\left( {dpcm} \right).\)

4) Các đường thẳng AC, DM cắt nhau ở P, các đường thẳng BC, DN cắt nhau ở Q. Chứng minh rằng \(PQ//AB.\)

Xét tứ giác \(CPDQ\) ta có: \(\angle PCQ + \angle PDQ = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow CPDQ\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle CPQ = \angle CDQ\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CQ).

Tứ giác \(CDBN\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle CDN = \angle CBN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN)

\( \Rightarrow \angle CPQ = \angle CBN\left( { = \angle DCN} \right).\)

Mà \(\angle CAD = \angle CBN\;\;\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle CPQ = \angle CAD\;\left( { = \angle CBN} \right)\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow QP//AB\;\;\left( {dpcm} \right).\)