Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điể...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chứng minh cho A, B cùng thuộc đường tròn đường kính OS.

2) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông để chứng minh.

3) Chứng minh \(\angle NBS = \angle NBM\) dựa vào các góc vuông từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết:

1) Chứng minh bốn điếm S, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn

Ta có SA, SB là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow \angle OAS = \angle OBS = {90^o}\)

\( \Rightarrow \) A, B cùng thuộc đường tròn đường kính OS

 \( \Rightarrow \) A, B, O, S cùng thuộc một đường tròn đường kính OS.

2) Chứng minh \(OM.OS = {R^2}\)

Ta có SA, SB là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại S

\( \Rightarrow \) \(SA = SB\) và SO là phân giác \(\angle ASB\)  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \Delta SAB\) là tam giác cân tại S.

\( \Rightarrow \) SO vừa là phân giác \(\angle ASB\) vừa là đường trung trực của AB (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow SO \bot AB\) tại M.

\( \Rightarrow \) AM  là đường cao trong tam giác OAS

Xét tam giác OAS vuông tại A, đường cao AM  ta có:

\(OM.OS = O{A^2} = {R^2}\) (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)

3) Chứng minh  N  là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB

Có \(\angle OBS = {90^o}\) ( SB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) \( \Rightarrow \angle OBN + \angle NBS = {90^o}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Có  \(SO \bot AB\) (chứng minh trên)\( \Rightarrow \) Tam giác MNB vuông tại M \( \Rightarrow \angle MNB + \angle NBM = {90^o}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Có \(ON = OB = R \Rightarrow \) Tam giác ONB cân tại O \( \Rightarrow \angle MNB = \angle OBN\) (tính chất tam giác cân) \(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \angle NBS = \angle NBM\)\( \Rightarrow \) BN là phân giác \(\angle SBA\)

Mặt khác SN  là phân giác \(\angle ASB (tính \,chất \,hai \,tiếp \,tuyến \,cắt \,nhau) \,và \,SN \cap BN = \left\{ N \right\}\)

\( \Rightarrow \) N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB.

4) Khi điểm S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường nào? Tại sao?

Gọi \(HO \cap AB = \left\{ K \right\}\).

Xét \(\Delta OMK\) và \(\Delta OHS\) có: \(\angle O\) chung; \(\angle OMK = \angle OHS\,\,\,( = {90^o})\)

\( \Rightarrow \Delta OMK \sim \Delta OHS\) (g.g) \( \Rightarrow \frac{{OK}}{{OS}} = \frac{{OM}}{{OH}} \Rightarrow OK.OH = OM.OS = {R^2}\)

Vì H cố định \( \Rightarrow \) OH cố định mà R cố định \( \Rightarrow \) OK cố định.

Mặt khác \(\angle OMK = {90^o}\) \( \Rightarrow \) M thuộc đường tròn đường kính OK cố định.

Vậy khi điểm S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường tròn đường kính OK cố định.