Cho các số thực \(a;b;c>0\) thỏa mãn \({{a}^{2}...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có thể chứng minh : \(\frac{{{x}^{2}}}{18}+\frac{5}{18}\ge \frac{1}{4-x}\) với \(\forall \;x < 2.\)

Khi đó ta có bđt \( \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 5}}{{18}} - \frac{1}{{4 - x}} \ge 0\)

\(\begin{align} \Leftrightarrow \frac{\left( 4-x \right)\left( {{x}^{2}}+5 \right)-18}{18\left( 4-x \right)}\ge 0 \\  \Leftrightarrow \frac{4{{x}^{2}}+20-{{x}^{3}}-5x-18}{18\left( 4-x \right)}\ge 0 \\ \Leftrightarrow \frac{2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4x-x+2}{18\left( 4-x \right)}\ge 0 \\  \Leftrightarrow \frac{\left( 2-x \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}}{18\left( 4-x \right)}\ge 0\ \ \ \forall \ x<2. \\\end{align}\)

Từ đề bài ta có : \(3 > 2ab \Rightarrow \sqrt {ab}  < 2 \Rightarrow \frac{1}{{4 - \sqrt {ab} }} \le \frac{{ab}}{{18}} + \frac{5}{{18}}.\)

Tương tự ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{4 - \sqrt {bc} }} \le \frac{{bc}}{{18}} + \frac{5}{{18}}\\\frac{1}{{4 - \sqrt {ac} }} \le \frac{{ac}}{{18}} + \frac{5}{{18}}\end{array} \right..\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta có : \(VT\le \frac{ab+bc+ca}{18}+\frac{5}{6}\le 1.\)

Dầu ‘’=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 1.\)

Vậy \(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le 1~~khi\ \ \ a=b=c=1.\)