Cho phương trình \({x^2} + 2mx + {m^2} + m = 0\;\;...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay giá trị \(m =  - 1\) vào phương trình (1) sau đó giải phương trình (1).

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0.\)

c) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) và hệ thức bài cho để tìm \(m.\) 

Giải chi tiết:

a) Giải phương trình (1) khi \(m =  - 1.\)

Thay giá trị \(m =  - 1\) vào phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy với \(m =  - 1\) thì phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {0;\;2} \right\}.\)

b) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow m < 0.\)

Vậy với \(m < 0\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn điều kiện:\(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) = 32.\)

Với \(m < 0\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} + m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) = 32\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 32\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 32\\ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 32\\ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( { - 2m} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} + m} \right)} \right]\left( { - 2m} \right) = 32\\ \Leftrightarrow \left( {4{m^2} - 4{m^2} - 4m} \right).m =  - 16\\ \Leftrightarrow  - 4{m^2} =  - 16\\ \Leftrightarrow {m^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\;\;\left( {ktm} \right)\\m =  - 2\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(m =  - 2\) thỏa mãn điều kiện bài toán.