Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\lef...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 4z - 7 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\) có tâm \(I\left( {1;2;2} \right)\) và bán kính \(R = 4\).

Giả sử \(\left( P \right):2x + 3y + 6z = 0\). Ta có: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2a + 3b + 6c} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} }} = \dfrac{{\left| {2a + 3b + 6c} \right|}}{7}\)

\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 + 3.2 + 6.2} \right|}}{7} = \dfrac{{20}}{7} < R = 4 \Rightarrow \left( P \right)\) cắt mặt cầu (S).

\(d{\left( {M;\left( P \right)} \right)_{\max }} \Rightarrow \) M  là giao điểm của đường thẳng d (là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)) với mặt cầu (S).

Phương trình đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 2 + 6t\end{array} \right.\)

\(M \in d \Rightarrow \) Giả sử \(M\left( {1 + 2t;2 + 3t;2 + 6t} \right)\)

\(M \in \left( S \right) \Rightarrow \)\({\left( {1 + 2t - 1} \right)^2} + {\left( {2 + 3t - 2} \right)^2} + {\left( {2 + 6t - 2} \right)^2} = 16\)\( \Leftrightarrow 49{t^2} = 16 \Leftrightarrow t =  \pm \dfrac{4}{7}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {\dfrac{{15}}{7};\dfrac{{26}}{7};\dfrac{{38}}{7}} \right) \Rightarrow 2a + 3b + 6c = 48\\M\left( { - \dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{{ - 10}}{7}} \right) \Rightarrow 2a + 3b + 6c =  - 8\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {\dfrac{{15}}{7};\dfrac{{26}}{7};\dfrac{{38}}{7}} \right)\). Khi đó, \(T = a + b + c = \dfrac{{79}}{7}\).

Chọn: D