Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left|...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hình học để tìm GTNN.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \) Điểm biểu diễn của \({z_1}\) là đường tròn \(\left( {I\left( {1; - 1} \right);{R_1} = 1} \right)\)

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2}\). Giả sử \({z_1} = a + bi,\,\,\,{z_2} = a' + b'i,\,\,\left( {a,b,a',b' \in \mathbb{R}} \right)\)

\({z_2} = 2i{z_1} \Leftrightarrow a' + b'i = 2\left( { - b + ai} \right)\)

\( \Rightarrow N\) là ảnh của M qua 2 phép biến hình: Phép quay tâm O một góc \({90^0}\) và phép vị tự tâm O tỉ số 2.

Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua O. Dựng hình bình hành OM’KN’ (như hình vẽ). Khi đó, điểm biểu diễn của số phức \(2{z_1} - {z_2}\) là điểm K, \(P = \left| {2{z_1} - {z_2}} \right| = OK\).

Dễ dàng chứng minh được OM’KN’ là hình vuông, có cạnh \(OM' = 2.OM \Rightarrow OK = \sqrt 2 .OM' = 2\sqrt 2 .OM\)

Nhận xét:  \(O{K_{\min }}\) khi và chỉ khi \(O{M_{\min }} \Leftrightarrow M\) là giao điểm của đoạn thẳng OI và đường tròn \(\left( {I\left( {1; - 1} \right);{R_1} = 1} \right)\).

Khi đó, \(OK = 2\sqrt 2 .OM = 2\sqrt 2 \left( {OI - R} \right) = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 2  - 1} \right) = 4 - 2\sqrt 2 \)\( \Rightarrow {P_{\min }} = 4 - 2\sqrt 2 \).

Chọn: D