Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = 2a, AC = a, \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):

Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bước 2: Trong hai mặt phẳng lần lượt lấy hai đường thẳng a, b cùng vuông góc với giao tuyến.

Bước 3: \(\widehat{\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)}=\widehat{\left( a;b \right)}\)

Giải chi tiết:

Gọi D là trung điểm của BC ta có \(C'D\bot \left( ABC \right)\)

Ta có : \(BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos \widehat{BAC}}=a\sqrt{7}\)

\(\Rightarrow CD=\frac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(AD=\sqrt{\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét tam giác ACD có \(A{{D}^{2}}+A{{C}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}=\frac{7{{a}^{2}}}{4}=C{{D}^{2}}\Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại A (Định lí Py – ta – go đảo) \(\Rightarrow AD\bot AC\)

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AD \bot AC\\
C'D \bot AC\,\,\left( {C'D \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {AC'D} \right) \Rightarrow AC \bot AC'\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {ABC} \right) \cap \left( {ACC'A'} \right) = AC\\
\left( {ABC} \right) \supset AD \bot AC\\
\left( {ACC'A'} \right) \supset AC' \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {ABC} \right);\left( {ACC'A'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD;AC'} \right)} = \widehat {C'AD}
\end{array}\)

Ta có: \(C'D=\sqrt{CC{{'}^{2}}-C{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét tam giác vuông AC’D ta có: \(\tan \widehat{C'AD}=\frac{C'D}{AD}=1\Rightarrow \widehat{C'AD}={{45}^{0}}\)

Chọn A.