Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tâm I của mặt cầu là trung điểm của AB \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)

+) Bán kính của mặt cầu \(R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{A}}-{{z}_{B}} \right)}^{2}}}}{2}\)

+) Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( a;b;c \right)\), bán kính R là \({{\left( x-a \right)}^{2}}{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}\)

Giải chi tiết:

Gọi I là tâm của mặt cầu đường kính AB \(\Rightarrow I\) là trung điểm của AB \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{2 - 2}}{2} = 0\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{1 - 3}}{2} =  - 1\end{array} \right.\)

\(AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{A}}-{{z}_{B}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2+2 \right)}^{2}}+{{\left( 4-2 \right)}^{2}}+{{\left( 1+3 \right)}^{2}}}=6\Rightarrow R=\frac{AB}{2}=3\)

Vậy phương trình mặt cầu là:  \({{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\)

Chọn D.