Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc v...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi D là trung điểm của BC.  Vì \(OB \bot OC \Rightarrow \Delta OBC\) vuông tại O\( \Rightarrow \)\(D\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC

Ta có: \(\left.  \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right\} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\)

Qua D kẻ đường thẳng \(d//OA \Rightarrow d \bot \left( {OBC} \right)\)

Gọi E là trung điểm của OA.  Kẻ \(IE//OD\,\left( {I \in d} \right)\)

\(OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot OD \Rightarrow IE \bot OA\) tại trung điểm của OA\( \Rightarrow IE\) là trung trực của OA\( \Rightarrow IO = IA\)

\(I \in d \Rightarrow IO = IB = IC \Rightarrow IO = IA = IB = IC \Rightarrow I\)là tâm khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Dễ thấy ODIE là hình chữ nhật \( \Rightarrow ID = OE = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{a}{2}\)

Xét tam giác vuông OBC có: \(BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} + 9{a^2}}  = a\sqrt {13}  \Rightarrow OD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}\)(Định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

\(ID \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow ID \bot OD \Rightarrow \Delta IOD\)vuông tại D\( \Rightarrow I{O^2} = I{D^2} + O{D^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{13{a^2}}}{4} = \dfrac{{7{a^2}}}{2} = {R^2}\)

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng:\(S = 4\pi {R^2} = 4\pi . \dfrac{{7{a^2}}}{2} = 14\pi {a^2}\)

Chọn A.