Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\)có đáy ABC là tam...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của B’C’.

Gọi E là trung điểm của B’C thì IE là đường trung bình của tam giác B’C’C \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IE//CC'\\IE = \frac{1}{2}CC'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IE = A'M\\IE//A'M\end{array} \right. \Rightarrow A'IEM\) là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

\( \Rightarrow A'I//ME\)

Vì tam giác \(A'B'C'\)cân tại A’ nên \(A'I \bot B'C'\)

Lại có:

\(A'I \bot CC'\left( {CC' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right) \Rightarrow A'I \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow ME \bot \left( {BCC'B'} \right)\)

Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\) kẻ \(BH \bot B'C\) tại H.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot B'C\\BH \bot ME\left( {ME \bot \left( {BCC'B'} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {MB'C} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {MB'C} \right)} \right) = BH\)  

Vì \(A'I \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {A'B;\left( {BCC'B'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'B;IB} \right)} = \widehat {A'BI}\) (Vì \(A'I \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow A'I \bot IB \Rightarrow \widehat {A'BI} < {90^0}\))

Xét tam giác ABC có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.cos\widehat {BAC} = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 3{a^2} \Rightarrow BC = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin 120 = \dfrac{1}{2}{a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) . Mà \({S_{\Delta A'B'C'}} = \frac{1}{2}A'I.B'C' \Rightarrow A'I = \dfrac{{2{S_{\Delta A'B'C'}}}}{{B'C'}} = \dfrac{{2\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{a}{2}\)

Xét tam giác vuông \(A'BI\) có:\(A'B = \dfrac{{A'I}}{{\sin \widehat {A'BI}}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}}} = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác vuông \(A'B'B\) có: \(BB' = \sqrt {A'{B^2} - A'B'}  = \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

Xét tam giác vuông \(BB'C\) có: \(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{B{C^2}}} + \dfrac{1}{{BB{'^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{2{a^2}}} = \dfrac{5}{{6{a^2}}} \Rightarrow BH = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{5}\)

Chọn A.