Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8. Ở bốn đỉnh tứ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow DG \bot \left( {ABC} \right)\)

Giả sử tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi E là trung điểm của BC.

Tam giác ABC đều nên \(AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(DG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \Delta DAG\) vuông tại G\( \Rightarrow DG = \sqrt {D{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Tam giác ABC đều cạnh a nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}DG.{S_{\Delta ABC}}\)\( = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Vì tứ diện đều ABCD cạnh 8 nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{{8^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{128\sqrt 2 }}{3}\)

Tứ diện đều FAHI cạnh x nên \({V_1} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Tương tự ta có: \({V_2} = {V_3} = {V_4} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

\( \Rightarrow \)Khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích là \(V = {V_{ABCD}} - 4{V_1}\)\( = \dfrac{{128\sqrt 2 }}{3} - 4\dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{\left( {128 - {x^3}} \right)\sqrt 2 }}{3}\)

Vì khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng \(\dfrac{3}{4}\)thể tích tứ diện ABCD nên ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left( {128 - {x^3}} \right)\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{3}{4}\dfrac{{128\sqrt 2 }}{3}\\ \Rightarrow 128 - {x^3} = 96\\ \Leftrightarrow {x^3} = 32 \Rightarrow x = \sqrt[3]{{32}} = 2\sqrt[3]{4}\end{array}\)

Chọn D.