Tìm điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right)=\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng với cận chứa biến \(f\left( x \right)=\int\limits_{v\left( x \right)}^{u\left( x \right)}{g\left( t \right)\text{d}t}\Rightarrow \,\,{f}'\left( x \right)={u}'\left( x \right).g\left( u\left( x \right) \right)-{v}'\left( x \right).g\left( v\left( x \right) \right)\)

Giải phương trình \({f}'\left( x \right)=0\) và lập bảng biến thiên để xác định điểm cực đại

Giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right)=\int\limits_{{{e}^{x}}}^{{{e}^{2x}}}{\ln t\,\text{d}t}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{f}'\left( x \right)={{\left( {{e}^{2x}} \right)}^{\prime }}.\ln \left( {{e}^{2x}} \right)-{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}.\ln \left( {{e}^{x}} \right)=4x.{{e}^{2x}}-x.{{e}^{x}}=x.{{e}^{x}}\left( 4{{e}^{x}}-1 \right).\)

Phương trình 

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x.{e^x}\left( {4{e^x} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{e^x} = \frac{1}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - \,\ln 4
\end{array} \right..\)

Suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x=-\,\ln 4\) vì \({f}''\left( -\,\ln 4 \right)<0.\)

Chọn B